素因数分解の一意性の何がありがたいのか?


この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 21日目の記事です。

前回はtsunutさんの 食べられる「アレ」の製造シミュレーション(1) でした。

素因数分解の一意性について、ちょっとした発見があったので、その内容を書いてみようと思います。

素因数分解の一意性って?

まず、この定理の内容について簡単に紹介すると、「自然数の素因数分解の方法は、順序を入れ替えれば必ず1通りになるよ」という法則です。

順序を入れ替えれば1通りというのは、例えば 30 の場合

30 = 2 * 3 * 5 = 5 * 3 * 2 = 3 * 5 * 2

のように書けるけど、順番並べかえたらどれも一緒になるよね、ということです。

もう、まさに「自明」と言いたくなってしまうような定理の代表格です。

何がありがたいの?

直感的には当たり前に思えるのですが、「この性質が成り立たない世界」をイメージすると、ありがたさが少し分かるかもしれません。

これはほんの一例なのですが、偶数だけの集合Eに対して、和・差・積の計算をそのまま適用します。

すると、この集合に対する素数(みたいな存在)というのは、「自分以外では割れない数」を指すことになります。

こうしてできるE上の素数を試しに並べてみると

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,

となりますが、この素数の組み合わせは

60 = 2 \times 30 = 6 \times 10

という2通りの分解が見つかってしまいます。(3通り、4通り、… の分解の組み合わせを持つ数字も出てきます)

 

このような、「素因数分解が1通りじゃない世界」があるってことを知っているだけでも、だいぶ見え方が変わります。

実際、この「素因数分解が何通りできるか」という、いわば「分解のしやすさ」が、数学の重要な要素の一つである「類数」と密接に関わっていたりします。難しい分野ですが、深掘ると面白い話題がたくさん出てくるところなので、そのあたりも別の機会に(思い出しながら)書ければと。

まとめ

日曜数学会は行きたいと思いながら一度も行けなかったので、来年こそは参加したいと思います。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です