89とフィボナッチ数との深い関係がおもしろい


※この記事は、数学 Advent Calendar 2016 1日目の記事です。

タイトルの「89」という数は、一見ただの普通の整数に思われるかもしれません。

ですが、この数にまつわるすごく面白い性質を今年に入って知り、個人的にかなり感動したので、今回はそれを伝えたいと思います。

素数

まず、89は素数です。24番目の素数にあたります。

この記事も素数のTシャツを着て書いている程度に素数大好きな私としては、これだけでも大絶賛に値するのですが、今回はこの件ではありません。

フィボナッチ数

89は、フィボナッチ数列の中にも出現します。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

フィボナッチ数列というのは、前2つの数を足していくことで作られる数列です。

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21

この数列は、黄金比との関係性など、数々の面白い性質を持っており、数学的にも大変重要な数列で、89はその一員です。

これだけだと、89がたまたまフィボナッチ数の1つだった…といった感じですが、ここからが本題です。

89とフィボナッチ数列

突然ですが、最近個人的に勉強している『コンピュータの数学』の中で、次の興味深い問題が紹介されていました。

以下の数列の和は、いくつになるか。

0.1
0.01
0.002
0.0003
0.00005
0.000008
0.0000013


フィボナッチ数列を、1桁ずつずらしたものを全部足すとどうなるか?ということなのですが…パッと見ただけでは有理数なのか無理数なのか、そもそも収束するのかもイマイチ分かりません。

仮に、求めたい和を S、フィボナッチ数列の一般項を a_n とすると、上の小数列の一般項は

「n桁おとして、n番目のフィボナッチ数を添える」

と捉えると 10^{-n} \cdot a_n になることが分かります。なので、このように書けます。

\displaystyle S = \sum^{\infty}_{n=1} 10^{-n} \cdot a_n = 10^{-1} \cdot a_1 + 10^{-2} \cdot a_2 + 10^{-3} \cdot a_3 + \cdots

いったん和のおさらい

一見難しく思えますので、まずはこれよりも少し分かりやすいものを取り上げてみます。

以下の数列の和はいくつになるでしょうか。

\displaystyle 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27},

この数列は、前の項を\displaystyle \frac{1}{3}倍ずつしていくことでできる、いわゆる「等比数列」の一種です。等比数列の和には(とても覚えづらいことで悪名高い)公式も存在するので、それに当てはめて計算することもできますが、以下のように、比率の分だけずらして考えるとスッキリします。

progression_sums

2つの式では \displaystyle \frac{1}{3} 以降は全て同じ並びになるので、縦に上から下をごっそり引いてしまうと、

\displaystyle S - \frac{1}{3} S = 1 \Longrightarrow S = \frac{3}{2}

というふうに計算できます。「後半を揃えて、消してしまう」のがポイントですね。

本題を解いてみる

本題についても、この考え方が応用できます。 a_nという数列が入り混じっているぶん複雑ではありますが、a_n はフィボナッチ数列で、これは前2つの数を足していくことでできる数列なので、

\displaystyle a_n = a_{n-1} + a_{n-2} すなわち a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0 (n \geq 3)

が成り立っています。

ということは、a_n, a_{n-1}, a_{n-2} の3つを同じ列に揃えてしまえば、それを引き合わせて後半の列を消すことが同様にできるはずです。

試しに揃えてみると

fibonacchi_sums

となっているので、縦方向に (1) – (2) – (3) を計算する (辺々引く) と

fibonacchi_sums2

となり、2行目以降は \displaystyle a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0 なのでキレイに消すことができてしまいます。
a_1 = a_2 = 1 なので、

fibonacchi_sums3

fibonacchi_sums4

こんなにキレイな分数になってしまいました。

しかも、今回の数列は小数点第1位から始めていましたが、小数点第2位から始めると、分子の10まで取れて、こんなふうに書けます。

\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} 10^{-(n+1)} \cdot a_n = \frac{1}{89}

本当にきれいですね…!

まとめ … 1/89 を計算しよう

これはもう、\displaystyle \frac{1}{89} を計算してみるしかないですね! 電卓を少し弾くだけで「ほぼフィボナッチ数列」な小数が現れるわけですから。

1_89_calculation

序盤に現れるフィボナッチ数列を眺めているだけで幸せな気分になれますねw 何回でも電卓を弾きたくなります。

実は、フィボナッチ数列の逆数和

\displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \cdots

は無理数であることが証明されているのですが、証明された年が 19『89』 年なのも、もはや単なる偶然には思えなくなってきますね。 …そうでもないですかね?

追記: 和の収束性について

計算の過程で下記の級数どうしを引き算している点について、「そもそも収束することが分かってないと引き算できないのでは?」とのご指摘がありました。ありがとうございます!確かに前提として使ってしまっていましたね。

\displaystyle S = \sum^{\infty}_{n=1} 10^{-n} \cdot a_n

が収束することを見るには、隣り合う項の比率を調べる方法があります。 a_{n+1} = a_n + a_{n-1} \leq 2 a_n (n \geq 2) なので、

\displaystyle 10^{-(n+1)} \cdot a_{n+1} \leq 10^{-1} \cdot 10^{-n} \cdot 2 \cdot a_n = \frac{1}{5} \cdot 10^{-n} \cdot a_n

となります。つまり3番目以降の項は、直前の項の \displaystyle \frac{1}{5} よりも確実に小さくなるんですね。ということは、求める級数は、以下のように公比が \displaystyle \frac{1}{5} の等比級数の和でおさえられるはずです。(n = 1, 2 の場合も左辺が右辺より小さくなるように初期値を調整する必要がありますが、この場合は 10^{-1} を初期値としてOKです)

\displaystyle S = \sum^{\infty}_{n=1} 10^{-n} \cdot a_n \leq \sum^{\infty}_{n=1} 10^{-1} \cdot (\frac{1}{5})^{n-1}

右辺の級数が収束することは、先ほどの公比が \displaystyle \frac{1}{3} の場合と同様に示せます。どちらも正項級数(つまり、負の数がない)であることから、右辺が収束すれば、左辺も何らかの値に収束することになります。(このへんの議論を厳密にやると本題とずれるので割愛します。感覚的には、「収束するときより小さい値を足していってるわけだから、収束はするよね」 という話で、何となく理解できるのではないかと思います)

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